Veda a technika

Pytagorove hlavolamy: Nájdete riešenie?

Podľa

Ivan Kráľ

3. júla 2017

3144

Pytagorove hlavolamy

Čo tak si trochu potrápiť hlavičku? Skúste vyriešiť tieto hlavolamy z časopisu Pythagoras.

Dolárové bankovky. V mešci je 26 bankoviek. Ak z neho náhodne vytiahnete 20 bankoviek, budete mať minimálne jednu jednodolárovú bankovku, dve dvojdolárové bankovky a päť päťdolárových bankoviek. Koľko dolárov bolo v mešci (hodnota)?

Jin-Jang. Nižšie je zobrazený jeden z dvoch tvarov, ktoré tvoria tento známy symbol. Ohraničujú ho tri polkruhy. Ako ho možno rozdeliť tak, aby nám vznikli dva identické tvary?

Obrí koláč. Jeden obrovský koláč sa rozdelí medzi 100 hostí. Prvý hosť dostane 1% koláču. Druhý hosť dostane 2% zostávajúceho koláču. Tretí hosť dostane 3% zostávajúceho koláču, atď. Posledný hosť dostane 100% toho, čo zostalo. Kto dostane najväčší kúsok?

Riešenia

V mešci je 78 dolárov. Jednodolárové bankovky nazvime a, dvojdolárové b a päťdolárové c. Keď z mešca vyberiete dvadsať bankoviek, zostane ich v ňom ešte šesť. Vieme teda, že :

a ≥ 6 + 1 = 7
b ≥ 6 + 2 = 8
c ≥ 6 + 5 = 11

Takže a + b + c ≥ 26. Keďže v mešci je len 26 bankoviek, a + b + c sa musí rovnať 26, takže a = 7, b = 8 and c = 11. Celková hodnota je (7 x 1) + (8 x 2) + (11 x 5) = 78.

Tvar rozdelíme takto. Mriežka nám ukazuje, kadiaľ presne musíme viesť polkruhový rez.

Najväčší kúsok koláča sa ujde hosťovi číslo desať.

Označme si hostí písmenkom k a zostatok koláča písmenkom x. Hosť k dostane po príchode kúsok x vynásobený (k/100), teda percentom zo zvyšku koláča. Ten vyrátame ako x – x(k/100) = x (100–k)/100.

Keď príde na rad ďalší hosť, teda k + 1, dostane kúsok x vynásobený ((100–k)/100)((k + 1)/100). Hosť k + 1 teda dostane väčší kus koláča ako hosť k, ak (100–k)/100)((k + 1)/100) > k/100. To zneguje nerovnosť – k² – k + 100 > 0, ktorá je pravdivá, keď k = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 alebo 9. Inými slovami, kúsok, ktorý hosť dostane, sa zväčšuje po hosťa číslo deväť. Od desiatky sa kúsky zmenšujú. Môžeme zhodnotiť, že desiaty hosť si na tanieri odnesie najväčší kúsok koláča.